一阶低通滤波器

推导

数学模型 \[ \tag{1}RC\frac{\text{d}V_{\mathrm o}}{\text{dt}}+V_{\mathrm o}=V_{\mathrm i} \] 拉氏变换 \[ (RCs+1)U_{\mathrm o}=U_{\mathrm i} \] 传递函数 \[ H(s)=\frac{1}{RCs+1} \]

令 \(s=j\omega\), 得 \[ H(j\omega)=\frac{1}{(RC\omega)^2+1}-\frac{RC\omega}{(RC\omega)^2+1}j=X(\omega)+Y(\omega)j \] 频率特性 \[ H(j\omega)=|H(j\omega)|e^{j\angle H(j\omega)}=A(\omega)e^{j\varphi(\omega)} \] 幅频特性 \[ A(\omega)=\sqrt{\left[X(\omega)\right]^2+\left[Y(\omega)\right]^2}=\frac{1}{\sqrt{(RC\omega)^2+1}} \] 相频特性 \[ \varphi(\omega)=\arctan\frac{Y(\omega)}{X(\omega)}=-\arctan(RC\omega) \]

已知截止频率 \(\omega_c = 2\pi f_c\) \[ A(\omega_c)=\frac{1}{\sqrt{(RC\omega_c)^2+1}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \] 得 \[ RC=\frac{1}{\omega_c}=\frac{1}{2\pi f_c} \]

对式(1)采用一阶向后差分进行离散化 \[ RC\frac{V_{\mathrm o}(n)-V_{\mathrm o}(n-1)}{T_s}+V_{\mathrm o}(n)=V_{\mathrm i}(n) \] 整理得到 \[ V_{\mathrm o}(n)=\frac{RC}{RC+T_s}V_{\mathrm o}(n-1)+\frac{T_s}{RC+T_s}V_{\mathrm i}(n) \] 其中, \(T_s\) 为采样频率, \(RC=\frac{1}{2\pi f_c}\)

令 \[ \alpha=\frac{T_s}{RC+T_s}=\frac{2\pi f_c T_s}{2\pi f_c T_s+1} \] 得 \[ V_{\mathrm o}(n)=(1-\alpha)V_{\mathrm o}(n-1)+\alpha V_{\mathrm i}(n) \]

仿真

git clone https://gist.github.com/ae8c667a7626a5bee161edc4d469c78b
cd ae8c667a7626a5bee161edc4d469c78b
cmake -B build
cmake --build build
build/main > main.log
gnuplot -c main.gp main.log

参考

https://en.wikipedia.org/wiki/Low-pass_filter