一阶高通滤波器

推导

数学模型 \[ \tag{1}RC\frac{\text{d}(V_{\mathrm i}-V_{\mathrm o})}{\text{dt}}=V_{\mathrm o} \] 拉氏变换 \[ RCs(U_{\mathrm i}-U_{\mathrm o})=U_{\mathrm o} \] 传递函数 \[ H(s)=\frac{RCs}{RCs+1} \]

令 \(s=j\omega\), 得 \[ H(j\omega)=\frac{(RC\omega)^2}{(RC\omega)^2+1}+\frac{RC\omega}{(RC\omega)^2+1}j=X(\omega)+Y(\omega)j \] 频率特性 \[ H(j\omega)=|H(j\omega)|e^{j\angle H(j\omega)}=A(\omega)e^{j\varphi(\omega)} \] 幅频特性 \[ A(\omega)=\sqrt{\left[X(\omega)\right]^2+\left[Y(\omega)\right]^2}=\frac{RC\omega}{\sqrt{(RC\omega)^2+1}} \] 相频特性 \[ \varphi(\omega)=\arctan\frac{Y(\omega)}{X(\omega)}=\arctan(\frac{1}{RC\omega}) \]

已知截止频率 \(\omega_c = 2\pi f_c\) \[ A(\omega_c)=\frac{RC\omega}{\sqrt{(RC\omega_c)^2+1}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \] 得 \[ RC=\frac{1}{\omega_c}=\frac{1}{2\pi f_c} \]

对式(1)采用一阶向后差分进行离散化 \[ RC\frac{[V_{\mathrm i}(n)-V_{\mathrm i}(n-1)]-[V_{\mathrm o}(n)-V_{\mathrm o}(n-1)]}{T_s}=V_{\mathrm o}(n) \] 整理得到 \[ V_{\mathrm o}(n)=\frac{RC}{RC+T_s}[V_{\mathrm o}(n-1)+V_{\mathrm i}(n)-V_{\mathrm i}(n-1)] \] 其中, \(T_s\) 为采样频率, \(RC=\frac{1}{2\pi f_c}\)

令 \[ \alpha=\frac{RC}{RC+T_s}=\frac{1}{2\pi f_c T_s + 1} \] 得 \[ V_{\mathrm o}(n)=\alpha[V_{\mathrm o}(n-1)+V_{\mathrm i}(n)-V_{\mathrm i}(n-1)] \]

仿真

git clone https://gist.github.com/c5a032ce61f5dabc6d2e57ed08f46a14
cd c5a032ce61f5dabc6d2e57ed08f46a14
cmake -B build
cmake --build build
build/main > main.log
gnuplot -c main.gp main.log

参考

https://en.wikipedia.org/wiki/High-pass_filter